یک روش عناصر متناهی کارا برای مسائل کنترل بهینه شامل معادلات پخش زمان–کسری مرتبه توزیعشده
نویسندگان
1 گروه ریاضی کاربردی، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه کاشان، کاشان، ایران
2 گروه ریاضی کاربردی، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه کاشان، کاشان، ایران
3 دانشکده ریاضی و علوم کامپیوتر، دانشگاه صنعتی امیرکبیر، تهران، ایران
doi
10.22052/scj.2024.254306.1217چکیده
در این مقاله، یک روش عناصر متناهی برای تقریب جواب مسائل کنترل بهینه شامل معادلات پخش زمان-کسری مرتبه توزیع شده، معرفی میکنیم. دینامیک این مسائل شامل مشتقات زمان-کسری از مرتبه توزیع شده میباشد که تعمیمی از مشتقات کسری هستند. علیرغم اهمیت این مسائل، تحقیقات کمی در مورد حل آنها در منابع وجود دارد. روشهای عددی برای حل مسائل کنترل بهینه به دو دسته کلی روشهای غیرمستقیم و روشهای مستقیم تقسیم میشوند. در روشهای غیرمستقیم با استفاده از اصل پونتریاگین، شرایط لازم برای بهینگی به دست آمده و به صورت یک مساله مقدار مرزی دو نقطهای غیرخطی بازنویسی میشود. از طرف دیگر، در روشهای مستقیم با گسستهسازی متغیرهای کنترل و وضعیت، مساله مورد نظر به یک مساله برنامهریزی غیرخطی تقلیل مییابد. به دلیل مشکلات مربوط به حل دستگاه معادلات حاصل از شرایط لازم برای بهینگی در مسائل کنترل بهینه شامل معادلات پخش زمان-کسری مرتبه توزیع شده، در این مقاله از دیدگاه روشهای مستقیم برای تقریب جواب این مسائل استفاده میکنیم. به منظور تقریب مشتقات زمان-کسری مرتبه توزیع شده، روشهای تقریبی گرانوالد-لتنیکف و L1 را مورد استفاده قرار داده و دو فرمول تقریبی برای مشتق به دست میآوریم. همچنین برای گسستهسازی مکانی از روش عناصر متناهی تکهای خطی استفاده میکنیم. به این ترتیب، مساله اصلی را به یک مساله بهینهسازی درجه دو محدب تبدیل میکنیم که میتواند توسط الگوریتمهای بهینهسازی موجود به طور کارا حل شود. برای اثبات کارایی و دقت روش ارئه شده، دو مثال عددی در نظر میگیریم.
